Pertemuan 3
Tabel kebenaran dan validitas logika
Berikut notasi yang digunakan dalam logika informatika:
ATURAN SEMANTIK
Aturan semantik adalah suatu aturan yang digunakan untuk menentukan arti suatu kalimat logika atau nilai kebenaran (truth value) dari suatu kalimat (sentence).
Berikut adalah aturan-aturan semantik untuk kalimat logika.1. Negation Rule (aturan NOT)
Jika p adalah “ Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah ¬p yaitu “ Semarang bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (¬p) adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.
2. Conjunction Rule (aturan AND)
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “∧”
Contoh 1.3:
p: Fahmi makan nasi
q: Fahmi minum kopi
Maka p∧q : Fahmi makan nasi dan minum kopi
Pada konjungsi p∧q akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya (atau keduanya) bernilai salah maka p∧q bernilai salah.
3. Disjunction Rule (aturan OR)
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “∨”.
(Aturan Atau)
Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya true”
Contoh :
p : 7 adalah bilangan prima
q : 7 adalah bilangan ganjil
p ∨ q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil
Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil.
Disjunction bernilai salah (false) apabila kedua proposisi penyusunnya bernilai salah (false). Apabila salah satu proposisi penyusunnya bernilai benar, atau bahkan keduanya bernilai benar (true),
maka disjungsi bernilai benar (true).
4. Implication Rule (aturan IF-THEN)
Implikasi adalah pernyataan majemuk yang berupa rangkaian dari dua pernyataan yang di hubungkan dengan kata penghubung “jika... , maka...”. implikasi dua penyataan p dan q ditulis p → q (dibaca: jika p, maka q). Pernyataan p disebut anteseden dan pernyataan q disebut konsekuen.
Sebuah kalimat implikasi p → q bernilai salah hanya jika p (antesenden) bernilai “true” dan q (konsekuen) bernilai “false”, selain itu implikasi bernilai “true”.
Berikut ditampilkan tabel kebenaran dari implikasi:
Contoh:
a). Misalkan:
p = Rita lulus ujian nasional
q = ayah akan membelikan mobil baru
Berikut kejadian yang mungkin terjadi pada kasus di atas:
- Apabila p benar dan q benar berarti Rita lulus ujian kemudian ayah membelikan mobil. Apakah Rita senang? Tentu ia. Nerarti nilai “jika p maka q” benar (True)
- Apabila p benar dan q salah berarti Rita lulus ujian kemudian ayah tidak membelikan mobil baru. Apakah rita senang? Tentunya tidak. Rita pastinya akan protes dan minta janji ayah untuk membelikan mobil. Protes yang dilakukan menandakan nilai “jika p maka q” bernilai salah (False)
- Apabila p salah dan q benar berarti Rita tidak lulus ujian kemudian ayah membelikan mobil. Apakah Rita senang? Tentunya ia. Senang sekali... sudah tidak lulus dapat mobil lagi. Rita tidak akan protes kan? Jadi respon positif Rita menandakan nilai “jika p maka q” bernilai benar (True)
- Apabila p salah dan q salah berasrti Rita tidak lulus ujian kemudian ayah tidak membelikan mobil. Dalam kasus ini apa tanggapan Rita? Rita tidak akan protes kan? Karena Rita tahu bahwa kalau tidak lulus pastinya tidak ada harapan mandapat mobil. Jadi nilai “jika p maka q” benar (True)
b). Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut:
Jika matahari terbit di sebelah barat, maka Budi lulus ujian
Jawab: implikasi ini bernilai benar, karena antesedennya bernilai salah, walaupun konsekuen tidak diketahui nilai kebenarannya.
5. Equivalence Rule (aturan IF-AND ONLY-IF)
Biimplikasi atau Equivalence
Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p ↔ q”. Biimplikasi p ↔ q dapat diartikan sebagai implikasi dua arah p → q dan p ← q atau merupakan konjungsi “ ( p → q ) Ʌ ( q ← p )”, sehingga nilai kebenaran dari p ↔ q dapat ditentukan berdasarkan nilai kebenaran ( p → q ) Ʌ ( q ← p )”. Biimplikasi 2 pernyataan hanya akan bernilai benar jika implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilai benar.
Berikut di paparkan tabel kebenaran biimplikasi:
Dengan melihat tabel kebenaran biimplikasi maka biimplikasi p↔q bernilai benar hanya apabila kedua pernyataan p dan q bernilai sama (keduanya bernilai benar atau keduanya bernilai salah). Selain daripada itu, biimplikasi bernilai salah.
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan dibawah ini:
a) Jakarta adalah ibu kota negara Republik Indonesia jika dan hanya jika Gunung Semeru berada di pulau Jawa
Jawab:
Misalnya:
p = Jakarta adalah ibu kota negara Republik Indonesia
q = Gunung Semeru berada di pulau Jawa
Pernyataan p dan q keduanya bernilai benar maka biimplikasi p ↔ q bernilai benar.
b) Dua buah segitiga sebangun jika dan hanya jika ketiga sudut yang bersesuaian sama besar.
Jawab:
Misalkan:
p = Dua buah segitiga sebangun
q = Ketiga sudut yang bersesuaian sama besar
pada soal ini masing-masing pernyataan tidak diketahui nilai kebenarannya, tetapi nilai kebenaran biimplikasi p ↔ q dapat ditentukan, dengan mencari nilai kebenaran konjungsi (p → q) ˄ (q ← p).
Dalam hal ini implikasi p → q merupakan implikasi logis yang bernilai benar, karena memang benar bahwa juka dua buah segitiga sebangun, maka segitiga sudut yang bersesuaian pada kedua segitiga sama besar. Sebaliknya apabila ketiga sudut yang bersesuaian pada dua buah segitiga sama besar, maka segitiga tersebut sebangun. Ini berarti q→p bernilai benar. Sehingga konjungsi ( p→q )˄( q←p ) bernilai benar. Jadi, biimplikasi p ↔ q bernilai benar (True).
OPERATOR LAIN
Selain
operator logika diatas, masih ada operator logika yang merupakan kebalikan dari
operator “dan” yaitu “tidak dan (nand) “ dan
“tidak atau (nor)”.
1. Operator
“Tidak Dan (Nand)” / [|]
|
P |
Q |
P|R |
|
F |
F |
T |
|
F |
T |
T |
|
T |
F |
T |
|
T |
T |
F |
Nilai kebenaran dari “Tidak dan (not and)” adalah kebalikan
dari “dan (and)”.
Definisi : misalkan P dan Q adalah proposisi. Proposisi “P
dan Q” yang disimbolkan dengan P|Q, adalah proposisi bernilai salah, jika nilai
P benar dan nilai Q benar, dan jika selain itu maka nilainya benar.
2. Operator
“Tidak Atau (Nor)” / [
|
P |
Q |
P |
|
F |
F |
T |
|
F |
T |
F |
|
T |
F |
F |
|
T |
T |
F |
Nilai kebenaran “tidak atau (not
or)” merupakan kebalikan dari nilai kebenaran “atau (or)”.
Definisi :
misalkan A dan B adalah proposisi. Proposisi “A tidak atau B”, yang disimbolkan
dengan A
3. Operator XOR /
|
P |
Q |
P |
|
F |
F |
F |
|
F |
T |
T |
|
T |
F |
T |
|
T |
T |
F |
Nilai
kebenaran P xor Q kebalikan dari nilai kebenaran P
VALIDITAS LOGIKA (ARGUMEN)
validitas argumen merujuk pada hubungan logis antara premis-premis dan kesimpulan dalam sebuah argumen. Argumen dianggap valid jika, apabila semua premisnya benar, maka kesimpulannya juga pasti benar. Artinya, kesimpulan tidak mungkin salah jika premis-premis yang mendahuluinya benar.
Secara formal:
- Argumen Valid: Sebuah argumen valid adalah argumen di mana, bila premis-premisnya benar, maka kesimpulannya pasti benar. Hubungan antara premis dan kesimpulan ini bersifat logis dan independen dari kebenaran aktual premis atau kesimpulannya.
- Argumen Tidak Valid (Invalid): Sebaliknya, argumen tidak valid (invalid) adalah argumen yang memungkinkan premis-premisnya benar tetapi kesimpulannya salah.
Contoh Validitas Argumen:
- Premis 1: Semua manusia adalah makhluk hidup.
- Premis 2: Socrates adalah manusia.
- Kesimpulan: Maka, Socrates adalah makhluk hidup.
Di sini, argumen ini valid, karena kesimpulan benar-benar mengikuti dari premis-premisnya.
.jpg)
Contoh rangkaian sederhana
